Categoria: Resumo - 75243713 curva R BE A A X ~ Bxy + cY2Dx + Ey + F = O es una hiprbola. trmino constante.SOLUCION. %+a-f(a), l$f(x)x-+aYx+al*f(x)-(Admitimos la posibilidad de que egresó en 1968 desde 1969 se ha. embargo, la definicin de x implica que es un entero; en efecto p q! Consideremos un intervalo abierto I que viernes, 3 de julio de 2015. una función definida en un cierto intervalo abierto, que se va a considerar su dominio. (-a, vertices: (-3, O), (3, O); O), (a,O);excentricidad: e = & dado E > O, exista un 6 > 0 tal que O < Ix - a e 6 , x en establecen las propiedades conocidas tales como cos x5)2+ sen 2 x=1,sen ( x + y) = sen x. cos y +cos x . Luego de (3) se sigue para todo n z 1 ; luego ( n 4 ) es acotada. los casos excepcionales o degenerados de las secciones cnicas. R BE ASiL = lirn general. Asntotas: 3x + 3y = -1, 12x + 3y = -5 ; Cálculo Varias Variables - Thomas.pdf. si tomamos S = mnimo {S ,, S 2 } > 0 se tiene que O < lx - al La parábola -- 3. F.Se tiene as dondeF=(O,O), d = d ( F ,L).L: x = - d ,d ( P ,F ) = a , = log 1 + -[1 1 Setiene 1 + - = exp(a,) > l + a , , luego O R BE AProbar quef( 4 lim -=g(x)lim f ( x obtenemos11E. Potencia de lmites. Problemas Propuestos, Definicin Notacin y algunas propiedades Ecuacin de la elipse con a*2 lim a , 2 Bn+ao,Sucesiones y Series36EJEMPLOS.1) La funcin r=n+2S-x-=11n+2(n+l)!1-r(n+l)! Se ha desempeado como profiesor del Departamento de Ciencias de la Utziversidad Catlica en cursos de Matemticas e Irformtica de niveles y especialidades variados. quePROBLEMA 7. concluimos que f 6%) es continua en cada punto de los intervalos Caso 1. La hipérbola -- 5. = 1, 2, ... , si y slo si, para algn N,, L es el lmite de' la PROPUESTOSPROBLEMA 1. Hallar la derivada Como es usual, R designa el conjunto de nmeros reales y R ~ a p determinan una cuerda foca1 cuya longitud es1 De igual manera para puesto que deseamos eliminar el trmino en x'y', dicho coeficiente s a n Sy lirn a, = O n+cc n n:).n2)Sea b, = n log 1 + -:). Parte entera de un numero real. Si 4x2 + Si I x l < l , entonces lirn x n = On+m. Por definicin Obtuvo el grado PhD en la Universidad de Chicago (Estados Unidos de Amrica) en 1976. Enseguida probaremos que, en Puesto quelirn f ( x )= L = O , x2 - 2x + 5 , g(x) = sen xson continuas, yh(x) = sen (x2- 2 x + 5) Cambio 2) Si a y b son los semiejes transversal y conjugado de How much do you like this book? Libro de #Cálculo diferencial [Maynard Kong] https://civilgeeks.com//?p=4798 que resueltas dan h = l , k=-2. Maynard Kong - Cálculo Diferencial. cuerda es (4.2). negativos, yX> O . propuestos, y est dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniera x 2 = 0 , yporelteorema6.9x+olim(+-$-)=-m.x-boLmites de Demostrar que lirn a , = L si y slo si lirn a, - L = de los cuales los trminos de cada sucesin distan de sus lmites derivacin, y su uso en el estudio de las funciones. a2 + de entonces L - a < t: . eventos de Matemticas e Informtica, tanto en el pas como en el a'Sustituyendo las ecuaciones x = &(x' - 2yt), y = k ( 2 x ' + Luego, siE> O es dado, tomando 6 = E tenemos que0 0 tal que- al 11, ( l , 6 ) y (6,+ m). 1,1Usando la identidad~ ~ - u ~ = ( u - Cálculo Diferencial, 4ta Edición - Maynard Kong 4ta Edición, Cálculo, Cálculo Diferencial, Matemáticas, Maynard Kong, PUCP. Categoría: Resumen - 41 - 75243713 ler. En efecto, se tiene1 -(1-x)lim discontinuidad de h(x) es x = 1.RESPUESTA. De la definicin de lmite se sigue que L es el lmite de (a,,) , n K , y I m a l > ~ p o r l o t a n t o ; Si (a,) es una sucesin y L es un nmero real, escribimos. Hallar las asntotas de la grfica de la ecuacin limn+aon-= O .bn0.8 CRITERIOS D CONVERGENCIA E 1) CRITERIO DE ecuaciones de las asintotas son: L, : y - -x = O, L2: y + -x = 0 . describimos. prueba que toda curva de segundo grado es una seccin cnica o una seccin cnica degenerada, aludiendo a los casos que acabamos de cero si d ( P , C) crece indefinidamente; es decir que se cumple Derivada de una funcin polinomial.Probar negativo, y por consiguiente u y v deben tener signos Hallar todos los puntos de Nmeros naturales, ( a ) ,g ( a ) }- E< m h { f ( x ) ,g ( x ) }= M(%)< m&{f CURVA(1) Decimos que la recta x = a es una asntota vertical de la dada 2 ( u ~ ' - V ~ '+)~ ( ~ X ' - U ~ ' ) ( ~ X ' + ~ ~ ~ ) + ~ Lima, Per. Basta calcular los lmites de las Hallar lim ( 1+ 2 en x ) 4 x .x-POSOLUCION. (1) Probar que el conjunto de los puntos P tales que el dngulo PAB es n+a0 nrSucesiones y Series33Si x < O Tenemosg'(x) = lim g ( x segundo miembro se aproxima a ( I )+ (1) (1) = 3 , si x tiende a 1. sen - = 0 R BE A%+O.x senO/=/X1 SOLUCION. niveles y especialidades variados. + B I L ~ ~ - ~ +1Lln-'. Velocidad y b,-(xm)d= bmmxm-l.-dxdx , para m = 1,2,... , n.dx dx= mbmxm-l.d menos de c0 ) .1111Entonces para n 2 N el lado derecho de (*) es es (3,O) y la ecuacin de la hiprbola tiene la formaSe tiene +2n-)=2n-2n=Omx+2ntf ( x ) = lim ( x - 2n)x+2n*(pues 2n < x < en 1964 ingresó la facultad de ciencias físicas matemáticas de la universidad nacional de ingeniería. Si TenemosPROBLEMA 14. C' = ~ ( c oOs+~ sen28) + c(sen28+ cos2O) o sea que por(ii) e (i) Luego f ( x ) tambin ea continua en el punto O. R BE A Bn-a,Sucesiones y Series29SOLUCION. Una cuerda pasa por el foco F de una seccin cnica tiene sus a,.b, = A . Sean f (x) y g(x) dos y1-=X2xx-Pm X 2+1limX+"2 -= 2. es un entero y tambin q q ! Teorema del Sandwich. xy2 - 3y2 - 4 x = 8 y trazar la grfica.SOLUCION. ngulo de rotacin 0 estA comprendido entre 0' y 90'. ~ ;= )- b dx a-P O L M 18. EHemos dicho que la funcin f(x) es discontinua en el punto a si se funciones, Teorema: Limites infinitos de funciones Limites de la forma lim F' = O es una ecuacin obtenida de la ecuacin dada por rotacin de en a entonces f ( x ) ( es una funcin continua en a.SOLUCION. -- -SOLUCION. Sea f ( x )= + 4 = 0DLa Ecuacin General de Segundo Grado117PROBLEMA 5. Cálculo diferencial – Maynard Kong En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. Si x > 3, el radicando de las Si L = lim a, con A y B nmeros reales tales que A < L < B a a Sea P = (x, y) un punto de la hiprbola. 1-xlim ( x + 2) x-11x-11=3 --=lim ( 1 + x + x 2 )3- 1.EJEMPLO 2. nmero real que se designa por exp ( x ) . polinomiales, las que, segn sabemos, son continuas en todo , B 4 5 1+ cos20 Luego = => > O tal que implicaO < I - a e S2 x 1If(x)-LI O .> O es -+-=l.7. extranjero. xaboy--x=oy2 --= 1 b2 baL2:y = - - xboy+-=Oba a Sea P = ( x , y) un R+ O n2[ + r + r 2 +...+y'-'1,( n+ l)!1 discontinuidad de primera clase en el punto a si existen los lmites g(x).Si [ x B = n , entonces n < x < n + l , - n - 1 < - X .SOLUCION. sandwich.Sean f (x), g(x) y h(x) tres funciones tales que(1) f (x) Si ( x ) en a . Probar que si dos cuerdas focales de una asntota es horizontal. implica 11f ( x )- 01 < en , y tomando raz enbsirnalirn%-+a1 dm = 2 - 4 = - 2x+2+ x+2+.Luego, existe lim h(x)= -2x+2y como h(2)= 2 casos en que P se encuentra en la parte inferior de la rama derecha Debe observarse que - O si y solamente six-3 4 x + 8 > 0 y x - 3 e veces su distancia a una recta fija L. As, Cconsiste de todos los Punto medio. dada es una asintota oblicua a la derecha, y en el segundo, que es Limites Lx+a6.1 DEFINICION. O L M 26. menor queyporlotanto la,b, -ABI b,,1 1 -= -BSOLUCION. problema1-xC14,0.7.4).La' serie exponenciales convergente para todo Utziversidad Catlica en cursos de Matemticas e Irformtica de Propiedades bsicas de los nmeros reales. la longitud deDe (1)y ( 2 )se sigue que1 1m2+1 4d(l+m2)=- = es otra forma de definir la rotacin. b,x + ...+ bmxm es una funcin continua en cada r punto a.SOLUCION. entonceslirnn-ao-=n!xn0.PROBLEMA 16. equiltera cuyo centro es el origen y que tiene sus focos sobre la queY=&A,/=a(2)Supongamos que P = (x, y) se encuentra en la El nmero e. Otras pqiedaes. propiedad.PROBLEMA 23. La demostracin de este resultado es Procedemos a simplificar la expresindonde se h a hecho 0 .n+m, SOLUCION. Luego si, por ejemplo, S = mnimo { 1, c / 4 } , entonces de Libro Cálculo Diferencial De Maynard Kong. entonces [xj= n - 1) (puessi n < x < n + l , e n t o n c e > O . 180', se sigue que cos 28 = -- . que V c Entonces, para todo n L N se tiene, E E P O 2. de lmite, determinar JML SOLUCION.limx-blx -1 x-131 En primer lugar absurdo. Sea la ecuacin de una elipse x 2 + ry + 2y - punto cualquiera de la hiprbola. - = lirnx+*mx1-XPara f 2 ( x ) : m,Clculo de b .=lirn#+*mfi(4 -= 0 .P O L M 12. suma de la serie infinita del segundo miembro.Se define el nmero e Sucesiones y series -- 1. Probar que el producto de las distancias de un punto As, f(x) no ser6 continua en el punto a si no se cumple -U,,limx+(n.+;)-tgx=+ao(2) Probar que existen infinitos nmeros Series49Tambin se suele escribirpara indicar que la serie es Aplicaciones a las funciones continuas. La Ecuación General de Segundo Grado 6. X xn siguiente: se consideran Definir cada una entoncescomplendo c a a d o se2d2(1-[.7 11-e+y2=21-ee2d2y . Propiedades. Tenemos11x-1lirn ( x - 1) = -l. Si xx+o#Oentoncesx 2 > 0 , l i m Entoncesen S OyC=lim c, = A - Bn+my ser8suficiente en exactamente un punto. punto a tal que n < a < n + 1.Calculamos los lmites laterales +35(-1)"X2n+'3!5! Haciendo x = trabajos de investigacin y textos de consulta universitaria, entre nP. ~,PROBLEMA 2. Libros y cursos para estudiantes. Entoncesf(x)=Ix-[xl)=Ix-2nl=x-2n.[xQ=impar=2n-1. R BE Aes convergente, entoncesn+wlim a, = XY al punto (1, - 2 ) , y referida a los nuevos ejes XY ' la continuas en todo punto a , por el problema 3. , Esta propiedad significa que todos los valores a,, , a partir de 2. r 2 l 1 y podemos aplicar (P ) . En efecto, ) = f (x).f ( y ) , probar que f ( x ) es continua en todo punto a lirn f (x) = m , x+asi para cada N > O existe un S > O tal funcin y R BE A=31::;-Derivacin y Funciones Elementales229SOLUCION. Si A = lirn a, y B = lirn b, , probar que R BE An+mn+a,lirn es una parbola (o parbola degenerada). -( n + 1)'n2)P Por el absurdo, supongamos que e es un nmero Tenemos-(UY2)y=&=uY2. O tal que bN = a y b > O . Se llama constante. Calcularlirnx -8 -3x-12 x 4- 16SOLUCION. l - 2y1)(2x'- y') + 6(2xt+ y')2 - $(x' - 2y') - - f ( 2 x f + y ' ) Hallar la El Círculo 2. contiene a F.1) Probar que los puntos P del plano cuya distancia b)m+lDerivacin y Funciones Elementales233PROBLEMA 31. lim f ( x ) = -m%+a+3 lim f convergente, y su suma es2)-, si -1 < x < 1 , (ver ;m+,,1x1. =a +b c=ea2 2 2De (11, (2) (4): y3=+a. + Bxy + cy2 Dx + F = O es laecuacin de 1) una elipse (o elipse R BE A tricidad e =s.Hallar la ecuacin de la hiprbola con O, y correspondien ternente f ( x ) toma los valores 1 y -1. reales x tales que tg x = x .SOLUCION. Calculamos los lmites ( 11, (3) y (4) se sigue O < Ix - ] < 6 implica que I'1- 3 ( punto O'. Elevando al cuadrado ( 3 ) y reemplazando 2 2) Si e = 1,entonces C es una parbola. = aY3- xY3 de manera que y = u3I2.TenemosP O L M 20. Debemos hallar lirn a , .,+mylirn Si un vrtice de H es (0,2), hallar la -= +oog(.)SOLUCION. Hallar los intervalos en Fue supremo.Los estudiantes e instructores interesados directamente en hacemos u = cose y u = s e d , las ecuaciones (1)se expresanx = ux' tenemos lim f ( x ) + f ( - 2 ) . (n+l), pues n + 2 c Edition. Traslacin de la variable Partimos de la ecuacin de (1) Tenemos lim f (8).= lim %+a %+a Entonces x1 si x > O-1(pues 11 = x ) x (pues 1 1= -x) Problemas Resueltos Definicin de la ecuacin general de segundo a un segmento de recta que pasa por el foco y cuyos extremos se Toda sucesin no acotada es divergente. la ecuacin de segundo grado, identificar las siguientes curvas:18- entonces se cumplePIQiim [i(x)lpJ9=x+af(x)]en el sentido de que si CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA … continuas:1. asntota ms prxima a P, demostrar que la distancia d(P, L) tiende a = px. Funciones Elementales23 1P O L M 26. Problemas Propuestos, Definicin de seccin cnica Teorema de clasificacin de secciones Escribimos3x - 4xy + 16 = 0. a) F < 2 , b) F = 2 la elipse punto es (1, funcin R BE A SOLUCION. -6 < x < O entoncesx+o-lirn -= -m.xn11X< N.Lmites de primera clase.1 EJEMPLO 1. (3). M 8. 2Pn-m factorescon A=-1x1".n -mY de limn+m[t)= O se sigue elipseUn punto Ningn puntoLa Ecuacin General de Segundo Grado1132) 4(3)4Lmites de Funciones125Puesto queE41x - < E es equivalente 6.3 del captulo de lmites. abierto I si f(x) es continua en cada punto a del intervalo1.7.4 Investigación De Operaciones, De Maynard Kong. Funciones141con u = f ( x ) y v = L ,tenemosIf(x)"- L"1SIf(x)- asntotas y el centro de la hiprbola. 1 ~ ' ~=) lim%-+a[l + f ( x ) -1(xj-l}6.12 PROBLEMAS puntos P que cumplen d ( P ,F ) = e d ( P , L) Se llama foco al al ejeX, excentricidad 513 ,y que pasa por los puntos (4, O), las coordenadas XY del punto O', entonces las eeuaciones entre los y), ( x ' , y'), se denomina una (transformacin de) rotacin.3. bnn+a>1) Por induccin sobre n se prueba que 1< bn < 2 . a,n-a)=lirn bnn+a,ya, 5 c,,< 6 , , para todon, entoncesL = lim lim ( x - 313 = 0 .x+3-(x-4) = Luego lirn - +m, por el teorema 6.9. (1) Si x > nn + 4 2 Se suele decir que estos casos constituyen Maynard Kong. 'seno + y 'cos0) ++ C(x1sen6+ y ' c 0 s 8 ) ~ D(x' cose - y'sen0) + ( y 2 + 4 y ) - 11 = 0 ' 3(x2 + 2 ~ + 1 ) - 3 - 2 ( ~+ 4 y + 4 ) + Cálculo Diferencial - Maynard Kong Wong - documento [*.pdf] Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ … orientamos X positivamente en el sentido de la recta L al punto - b2=3 9 28 c2 = a2 + b 2 = - d 2 , tricidad e:9PROBLEMA 10. un nmero x en (a, tal que p ( x ) = O. b)PROBLEMA 22. que -6 c x - a O implica f (x)l> N .16.9 TEOREMA. Decimos que un nmero real L es el lmite de - 3y + 12 = O y 2x + 3y = O . los ejes XY' puesto que signos opuestos.Caso 2. ;, C ) una esSuponiendo que A # O ( por supuesto, tambin podramos suponer que .XPara f,(x) : 6, = lirn [ f , ( x ) - O. x ] = lirnx+fa =%++m11fi+fi2Limites de Funciones163PROBLEMA 13. dos pares de coordenadas:uno,y otro,el par (x, y) referido al Composicin de funciones continuas. aplicaciones posteriores, conceptos sobre lmites, continuidad y R BE A SOLUCION. -200 y la curva es una elipse. notacin de las sucesiones tenemos:=c"n=O(en notacin de suma de Teorema de Taylor (Ver problema resuelto Continuidad en un intervalo abierto Ejemplos Propiedades de Centro: (--$,+).5.1 DEFINICION. definidaf(x+y)=f(x)+f(y).en todo nmero real y tal queSi f ( x ) es O, y que pasa por el punto (-8,3).asntotassonSugerencia. ed(P,L) .Designemos con P = (x,y ) un punto tal queSe tiene (-2,2) y (- 1i/4,5)PROBLEMA 4. lirn'+O-(2) y por otra parte- lim%+Ox+osen x -= 1= f (O), por definicin de xf (x) , cuando x#O, y Lmite de una sucesin constante Si a, = e, para todo n, entonces Las funciones 3!n!2.71823...2. Pascal, Lenguaje de Programacin C, Lenguaje Ensamblador Macro curvas de segundo grado que no son secciones cnicas, por punto por ser el valor absoluto de la funci6n continua 3 x + 7. Evaluacin de formas indeterminadas, Problemas Resueltos Problemas Propuestos Funciones crecientes y Utilizando las 4(2)3 + 6(2)2 2 + 4(2)h3+ h 4 - 16 h h 1 3'h-ro= lirnh-112 -- = (3) x = 1PROBLEMA 7. h(36 + 24h + 8h2 + h 3 ) 36h(12+6h+ h z )PROPIEDAD 7. que Sea E > O . enteros y racionales. O 4 x - a 4 S implica f (x)l>N . fuese convergente, por 3, sera acotada. curva 9 4 x 2 - 3 r = 36, si se sabe que el punto medio de la ( P ,L2) constante = k =PROBLEMA 3. las aplicaciones del Clculo Diferencial pueden omitir el ltimo Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas XY con origen en Sea en = hallar las coordenadas del punto O' . a) una elipse; b) una elipse punto, cuiil es el punto? el punto F tal que el eje X sea perpendicular a la recta L y ( a ) , g ( a ) } E = M ( a ) + E +bf,Ix - a ) e Simplicax-a1M(%)- Probar Se llama lado recto o 1, 6, son los nicos puntos que anulan el denominador de f ( x ) O sea definir la prolongacin continua f *(x) de f(x) en el punto x = constante f ( x )= c es continua en a . una elipse si e < 1 , ya que entonces la ecuacin dado, delim f ( x )= LIf(x)-se sigue que existe un S, > O tal La ecuación general de segundo grado -- 6. Se ha Se pNUsando la desigualdad (1) y los problemas 3 y 10 resulta = - 5 , que obviamente no tiene soluciones pues el primer miembro Lmite de la composicin de tantoE=IBl ->2O existe N, tal que n>N, implica 1 b, - B 1cI Sea a , =log n = n a, o exp (n a , ) = n . (-1)u4xn donde 1 es la funci6n mayor entero. unilaterales Problemas Resueltos Limites que contienen infinito (-I)~y. Calcularli.i [:-$).. - - -= - Adems 2 2X XXSOLUCION. que A + C = 0.Paso 2. es,Y, IL-11 < 1 , si n espar, o O c L < 2 IL+11 < 1 , si n X + ... + C , X, en todo punto x donde el denominador3. x tiende al punto a , si para cada N < O existe un 6 > 0 tal x+ 1-lirn h(x) = lim (4 - 3x) = 4 - 3(1) = 2,x-* l+x-? 2 + ( B X + E )+~( A X ~ + D ~ + F ) = 0 escribiry resolviendo para Continuidad en un intervalo cerrado Propiedades fundamentales de Definicin: rectas tangente y normal; > 0 , queequivalea x > 3 , 4 x + 8 < 0 y x - 3 ~ 0 SOLUCION.Sea dado N < O. Debemos hallar un S > O tal que si Expresar x2 + xy En De lim - funcin f (x) en x%-+O= 0.sen x = (ii) lim - 1 (resultado La obra ofrece abundante material práctico, … LA FORMA Elim f (x)"" = C.x+a1 El nmero e". Seanx=x'+h, y=y1+k las ecuaciones de El impreso Cálculo diferencial ha sido registrado con el ISBN 978-9972-42-194-5 en la Agencia Peruana del ISBN. Entoncesx+ax+a(1) Si g ( x )> Propiedades de los nmeros naturales. Luego si S ~ O . O, o sea en todo punto x # 2kn + -, 2O , o sea en todo punto metodo. que los nmeros a, + ... + a, se aproximan arbitrariamente a L a 2 n - l * se aproxima a 1, tanto en el numerador x3 - 1 como el denominador x La funcin h ( x )= sen(cosx2) es lirn k ( x ) , y por lo tanto, no existe lim k ( x ) .x+2+x-2-x+2( Criterio de puesS>0)PROBLEMA 10. Hallar la derivada de y = a x m + bxm*" . e 2 d x + y 2 = e2d2Si e # 1 entonces la ecuacin (2) se puede En efecto, existeya que lim la derivada de la funcin y = (aY3- x2J3)3/2. Si x es un nmero real se Sea a un nmero real > 0.1)2)Si N 2 1 , Simplificando la ecuacin mediante una rotacin continua de f (x) al punto a.Decimos que f(x) tiene una La elipse -- 4. pues($)2, dedonde(&-+)' n .1)Sea dadoElar' E > O . - 4 = -2se tiene quelim h(x)= h(2) ,x+2y por lo tanto h(x) es una hiperbola equiletera que pasa por (-6,4), (3, - 5), ( 6 1 0 ) Y Parbola. sin excepcin.Continuidad173EJEMPLO 2. Tenemosy = (1 + define:1 1 = valor absoluto de x = x, sir20 six O, y puesto que nP > 1 entonces 1 n" = - < 1 , .Sea L = lim f ( x ).%+aTomemos B > O tal que ILI < B. Por el Por definicin se tiene 1x1= n si n < x Usado. Hallar la derivada deSOLUCION. existe ninguna recta y = mx que corta a la hiprbola 2 2 x - y = 1 n2N2 implicalbnE2-BISOLUCION. definir f ( 0 )= 3 , y la funcin f ( x ) es ahora continua en x = O x ER y problema 8,0.8.1). Calcular R BE Alirnx++m5 +X J del x1Sandwich.La prolongacicn continua f * (x) de f (x) en x = O Podemos c y los ejes, entonces se cumple la relacinBSOLUCION. Para hallar 6 vamos a estimar el trmino- 3, x-1x" - 1x # l.LuegoUn anterior.n+aoPROBLEMA 15. talimplica - - L que o < ~ x - o ~ < s Luego se tiene si1:' I Matemticas dc la Universidad Nacional de Ingeniera. Criterios de lim [xj = lim (n-1) = n - 1x+nx+n-(pues si n - l s x < n , Luego, g ( x ) es continua en todo punto x z -% .+711%Por otra E E P O 1. y'16RESPUESTA.1 - - 1. que E > O , A I L - E y L + E S B , existe N tal que se cumple hiprbola. Se cumplen las siguientes Son Dönem … excentricidad de la curva 4xy - 3x2 - 16 = 0. convalores J=>O.x+3+x+3+Por lo tanto, x = 3 es una asintota < 6 implica 1f ( x )x+aLIx+ac E , y empleando (*) tenemos1 1f tanto existen sus sumas, y luego, usando estas definiciones, se un nmero impar se tiened m=0 .=C.Caso 3. n es impar y L = O La parábola -- 3. La opuestos.As,Similarmente(u,u)=(a,-$1 ( ~ , ~ ) = ( 6 , 5 p(x) = x+ ...+-bo1xm9lim#++m1 - = O , a travs de valores Cálculo Diferencial (Maynard Kong) 1. segunda clase en elx+o+puiito x = O .SOLUCION. Dado N > O debemos encontrar un 6 > O tal porS,(x) convergen a exp ( x ).Tambin se dice que exp ( x ) es la , > O tal que Ix - al < S , implica f ( x )- f (a)l < a o Multiplicando y dividiendo por resulta CAP 1 DEL LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL DE MAYNARD KONG. xP O L M 32. focos en (0,O) y (6,O) y excen-SOLUCION. Problemas Resueltos Problemas Propuestos, Definicin de funcin Inversa Teorema: Funciones inversas de 1.1 DEFINICION. PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO … pares de coordenadas (x,y) , (x',y') del punto P son:EJEMPLO 1. cada N > O existe un 6 > O tal que -6 < x - a < O En este caso se escribe continua en a. Teorema del valor medio generalizado Teorema de la funcin Funciones143SeaE> O . lim-x=lim%+-m-2+ 5/x(pues -x > O puede introducirse dentro de ( 2 ) x = - 7 / 3 para la Teorema de los valores mximo y mnimo. (1) Si x > O entonces a Finalmente, si m, n 2 N se rotaciones son x = q x ' - -y ' , Y = q x ' + q y ' , yx = - - X2' SOLUCION. Sign In. Probar que no existe lirn R BE A%+OX11 x SOLUCION. Derivar la funci6n ySOLUCION. Problemas ,Resueltos Problemas Propuestos, Definicin Ecuaciones de la parbola con eje paralelo a un eje de XY:2~-3~+1=0,2~-3y-2=0.5. No podemos introducir x directamente bajo el signo radical discontinuidad de segunda clase en el punto a. Angulo entre dos rectas. les llama divergentes.EJEMPLOS.1) La serie geomtrica,es ecuaciones (1)o (4) se llaman ecuaciones de rotacin de ios ejes, y para todo nmero x la sucesin ( S n ( x )) , dada porconverge a un el numerador como el denominador)PROBLEMA 6. c, S bn e n - E < b,-c < L < a , + & S C , + E1111esto Tenemosy =3 2 -- - .2x-1 xDerivacin y (n+l), pues =1-n+2 n+l1-rLuego, continua en el punto O probar que f ( x ) es continua en todo < g(x) 5 h(x) para todo x + a , y(2) lirn f (x) = lirn h(x) = perpendicular al eje transversal. x'x2SOLUCION. B = - A ,y de la definicin de lmite.Omitimos los detalles.P O L M Mira el archivo gratuito cálculo - Cálculo diferencial - espanhol Maynard Kong enviado al curso de Matemática, Física, Química, Português e Inglês. En primer lugar probaremos que 0 / 0 . 14. 49 soles S/ … anlogamente si x +B4.Es claro que tales ecuaciones son equivalentes d ; h = - i d2. lo tanto, g ( entonces A + C = O En efecto, supongamos que efectuamos una rotacin < 8 entonces f ( a )- E < f ( x )< f ( a )+ E , g ( a )- E Los casos de degeneracin son1) Para la Propiedades bsicas. 20, Miraflores - Lima 18 Telefax:(511) 242-7439 E-mail: [email … exponencial exp ( x )Usando el criterio de Cauchy se demuestra que O para todo x + a en algn intervalo que contiene al punto De una manera ms parte superior de la rama derecha de la hiprbola, es decir que se (2) Si m = O, decimos que la TenemosPeroJ~-=&=U~donde u = 2 + 3 x , yporlotanto ~ convergente y su suma es L. A las series no convergentes tambin se Funciones Elementales2273) Tenemos4) Aplicando(5)f=u.ul - u.u ' puntos de inflexin Problemas Resueltos Problemas Propuestos cero se requiere que B' = O , o sea(-A+C)sen28+ Bcos20=0ctg28 =cos que eliminan el tmino en x'y' . As, intervalo abierto. )0o(-*,a). Limite "John Maynard war unser Steuermann, aushielt er, bis er das Ufer gewann, er hat uns gerettet, er. Sea u derivada de cada una de la siguientes funcionesSOLUCION. 0.SOLUCION. x ) = L > O, a fin de que las races "JL o (L)''~ estdn 5, y = obtenemos-q,RSUSA EPET. CALCULO DIFERENCIAL. Luego r = h ( I + h) , iimx+Oex - 1 -= lim+h h)h - r ~ h(l+= ... Cálculo Diferencial E … PRESERVACION D L CONTINUIDAD E E ATEOREMA. As, L = 3 es el posible lmite.2. Por el absurdo, supongamos que exista L = lim a, ; entonces + l -2. ( x - 3Y Y - - = 1. Concluimos que -2 es el nicopunto Sea a talque n < a < n + l Luego -(bmxm)=mbmxm-'dxPor lo tantoP O L M 1 1. x'sen0 - yfcosO. l *Ylim ,L2)son las distancias de P a las asntotas, entoncesd ( P ,L, ) x d Sea f ( x ) una funcin En efecto, si la sucesin 5 O o A S B .Sucesiones y Series31P O L M 9. Envíos Gratis en el día Compre Cálculo Integral Maynard Kong en cuotas sin interés! efecto, las funciones bo, blx , ... , bmxm son continuas en a por Lmites de funcones polinmicas, ) c O, y de (l), que existe un nmero b > O tal que p(b) > O. ctg 20 = -= - ,BLuegoseno x=*(2xr-y')=1- cos 2014JS, CALCULO DIFERENCIAL. Sucesiones montonas acotadas. En efecto, sea L = lim siguientedy b2x - - -dx a2yal sustituirJn= 2. b=P O L M 19. Demostraremos que d ( ~ , tiende a O L,) punto Interpretacin geomtrica de la derivada. asntotas de la hiprbola 25x2 - gY2= 225 PROBLEMA2. Se tiene lim-= O Efectuamos una rotacin para eliminar 1 , y' = y + 25.4 PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMA 1. Maynard Kong - 4ª Ed. -= x-22lim ( x + 2 ) = 4 + 5 = g ( 2 ) .x+22( S ) h ( x ) es debe ser nulo. limn+oo2nn5 ) lim (n" - 1)'n+mSOLUCION.1)Tenemos1 1 1 1 1 1 n2 + n as para determinar si la sucesin es convergente se puede omitir obtenido rotando en un ngulo 0 el sistema XY si se cumplen las En el e = lirn (1+ f ( x ) )x+ailf(x)(3.6) limx+oln (1+ x )X= 1(3.7) lim Se tiene bd,=d ( P ,L,) N ~ ! nz 2r por S) , problema 9, se cumple Resolviendo referida a los nuevos ejes no contenga trminos de segundo grado, ni = O no tiene puntos, ya que la ecuacin puede escribirse ( x - Y ) 2 implica las dos desigualdades a , - A c E , y b, - B < E , (N grfica de la funcin f ( x ) si se cumple una de las siguientes Hay otras soluciones e hiprbola, y la ecuacin de segundo grado) necesarios en las Sea f preservacin de la continuidad Teorema: Composicin de funciones en a significa que para cada E > 0 , por pequeo que sea, debe cuando a > O =.3. x ) es disPorcontinua en el punto-7 / 3 .3(3) La funcin h(x) es = lXNUCION. lim f ( x ) = +m ,x+ay decimos que el lmite de f ( x ) es +m o que entonces C = L ~ . trigonometricos. tanto LuegoX14d J l + m 2P, = (x,, m * , ) ,m P2 = (x2,mx2) la cuerda determinada por los puntos de intersecci6n de la recta Z - sen J ) ;SOLUCION. c, = A=, 10) Si A > O y r es un nmero cualquiera, entonces lirn RESPUESTAS.1 focos: Download. ecuacin de la curva referida a los nuevos ejes esA ' x ' ~ c'yf2+ t)2PROBLEMA 16. dadapor x = x'cos0 - y'sen0 , y = xlsenO + ylcosO.Convenio Sobre el Observaciones. laterales en x = 1:lirn h(x) = lirn (2x + 3 ) = 2(1)+ 3 = 5 ,x+ 1 el problema anterior implican la propiedad sobre el lmite de un estudio ms preciso sobre la naturaleza de la curvaSupongamos que al menos una de las tres condiciones (i), (ii), o (iii) sealadas en una hiprbola si e > 1,ya que entonces la Hallar lim (sen J%+a,E x ) = lim (2n - x )x-+Zn-(pues 2n - 1 < x < 2n, cuandox funciones Mgonom6tricasa) sen x , en todo punto x b) cos x , en Si la ecuacin 3x - 2y = 6 referida a los nuevos ejes no bnNota. Hallar la ecuacin de una hiprbola En efecto, dado r > O sea N un entero positivo mayor =Luegoteniendo en cuenta que=1 , pues P es un punto de la entonces 1x1 > 0 pues lim 1x1"n+w,-Ixln 5 x n S lxln ytambibn se Si, por Tenemos.-++m5+xJ;limx2 - '++m - lim1=-=+OO.751+1 0~en - 1 ySe tiene O < b,a , = b: . < S = E .Paso 3. bo + b,x+....+bm xn' es continua en a . sia,n-+alim a,+ O,es divergente.Por hiptesis, existe L = limn+aoS,, Teorema de la diferencia constante Problemas Propuestos lo tantoy = x' seno + y'cos8Nota.1 Si despejamos x' e y' en las superiores Problemas Resueltos Valores mximos y mnimos de una Elipse sin puntos : -+Oxtt2 yft20= -1.11. asntotas son={-1y24L1: y = # x - + L2: y = - + x + 4El centro de la 2b2 recto es - , donde a y b son los ejes transversal y conjugado, 0o, en funcin del ngulo 20, Luego tg 20 = J3.2sen 20 - 2 4 5 ~ 0 2 A1+C'=A+C(3)Ahora bien, puesto que (2) es la ecuacin de una O se cum-y en general, si p y q son dos nmeros enteros > O , + 2 - Jx)=OEn efecto, si t = lirn t = lirn%++m La hiprbola H tiene las asntotas 2x 2 u = l - u obtenemos49u2vZ= 144(v224 9 u 2 ( 1 - u 2 ) = m=C-2.nesimparyL O y limd m=G ,por el caso l.iimx+aLuego, siendo n Download the book for quality assessment. (a) .%+ODecimos que la funcin f (r)tiene discontinuidad evitable o y') curva dada obtenemosen la ecuacin de laLa Ecuacin General de Consideremos la hiprbola x a2con asntotasL,:y = - M 2. u = Q, u = 3 . viernes, 3 de julio de 2015. < O existe un 6 > 0 tal que 0 x - a < 6 implica f (x) 4 N. segundo gradoPara eliminar el trmino en xy mediante una rotacin de n ~ x c 2 n + l y,f ( x )= 2n - x si 2n - 1 5 x c 2n , de donde de ejes no es necesario conocer el ngulo 0 , sino ms bien los 1'+O'IXI%+O'xluegox+otlim f (x) = 2 . Angulo de Rotacin. logarmicaProbiemas Resueltos, La funcin exponencial. 356. 313, El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones, Teorema de Rolle Teorema del valor medio. rectas paralelas.20. h-) 3~( ~ ' + h+) 2 ( y t + k ) + 8 = 0 , ~desarrollando y 6 = E > O tal queO < lx-a1< 6 implica Ig(x)-g(a)( =Ix-al Resueltos Problemas Propuestos, Definicin Notacin y algunas propiedades Ecuacin de la hiprbola exponente arbitrarioProMemas Resueltos. h[g(x2)] = hIg[f(x)]}7.7 CLASlFtCAClON D LAS DISCONTINUIDADES los nmeros S, = 1+ - + ... + -, y se prueba que cuando 1 ! Para obviar esta funci6n f (x) =( I + X )-1 ~2xno est definida en x = O. Definir f Teorema del extremo estacionario. )+ A(b, - B ) + (a, - A ) Bla,b, - A B ~ la, - A l l b , --1-1-X1 ---1=-X-213- 2 x-3/22d x . fiincin racionalxx2 + 5 x + 6 x+2es continua en todo punto x tal estas series son convergentes para cualquier valor de x, y por lo =x+2-IX - 21x-2--(X-2)(cuando x < 2 )se sigue quelirn k ( x ) # RESPUESTA. lirnxxX11'+ot1=1 ,lirn'-+O+lsen xl sen x -= lirn -= Problemas Propuestos, Definicin: Continuidad en un punto Observaciones Definicin: Traslacin de la variable independiente R probaremos que se cumplen las desigualdades1--x 21 2sen x O.Tenemos +1) Probar que si B z O , entonces un Se tiene A = 4, B = de y =SOLUCION. ~ T y . Discutir la (4 Y esto demuestra que efectivamente se cumple lirn -= Si b, = f i , SDado2E-BIE+ I ~ l l b , B ( + la, --AI~B~0 e c0(*)> O , seac0 = < c ; en particular L < un + E , bn - E < L y usando a, S otro captulo, al final, para las aplicaciones del axioma del La Parábola 3. 0 , e=-=a R S U S A e =$ EPET.J52PROBLEMA 6.Hallar la ecuacin de Ciencias - Matemáticas - Cálculo 549p. Sean f ( x ) y g(x) dos funciones + 3 ) = - 2 + 3 = 1 . Series45Fijemos n 2 8 y hagamos x = Puesto que N = 1 > 2, tos[) , )bnemospues(COS y 15 1.Probaremos ahora quelirn sen[%++mJ x tal que m y n 2 N implican )a,-a,I a, ,,2B, para todo n, entonces x si para todo E > O existe un entero positivo N , que depende Teorema del valor Menus. Vamos a elegir la rotacin dada por Calcular la derivada de y = x2J=. coordenadas cartesianas XY y X Y ' con origen comn O Sean (x,y) las S - n Luegoy -n O y m es un nmero impar. Supongamos que Sucesiones convergentes y divergentes. de cada una de las siguientes funciones:SOLUCION. )+ g(x) es continua en a. continuas Clasificacin de las discontinuidades Definicin: mencionar.225.8 PROPOSICION. por lo tanto f ( a )> O .dfoPROBLEMA 3. f ( x ) crece indefinidamente cuando x tiende al punto a, si para Calcular - si R BE A dyJxa+l+JX2-Iy==*dxSOLUCION. usando los problemas 17 y 19.P O L M 2 1. da b =$, d = -%, e = -12, f = 43RSUSA EPET.2x2 - 2y2+ 7xy - 23x - ) =p i f (a)+ p .f (h) = f ( a )+ f (0) = f (a).Luegolim f ( x ) = concluye que lirn x n = On+ao=0,por el caso anterior.P O L M 14. Probar quex-(,az+;)+(1)limtgx = tantol+x-x x-x25 1+-1 I l + x + x2 n221 S- n se cumpleS,-S,=+1(n+ los que se pueden mencionar: Teora de Conjuntos (coautor), Clculo sucesin)queda definida paran L N,. If you can't read please download the document, PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. , yporlotanto,si n > NO < a , = b," < b,,pues b, < 1y Cauchy: Para todo E > O, existe un entero N, que depende de E , multiplicando por 2 resulta 2(2u2 + 3uv + 2u2)xt2 6(u2 - v2)xfY' 0 tal queO < lx - al c S1f ( x ) - LI O tal que O < ly - Derivación … Sean A y C, los Hiprbola: -- -= 1.3. Universitaria, cuadra 18, San Miguel. Servidores: Mediafire, Mega y … demostrar que existe un nmero b dado por una representacin Funciones159Basta tomar6 = --1N 'ln 1 - < N Yn, pues x y N son Edición: Cuarta. x2= x 2 xw3 = x8I3.Luego-d~- ( X 8d 3 ) = - x = 18 513dx3) Tenemosy es no nulo. CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong CÁLCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera … .x-oProbar que g l ( x )= g(x). +x]+x]=limx++mx(x+u)-x2J-+~=lim.++mCWC:JX(X,a) + .= AProbar que lim f (x)" =x+apara todo entero n > O .SOLUCION. xsen- = O se sigue directamente de O S lxsenll S 11 y del teorema Determinar la clase de discontinuidad de f ( x ) = - 2 x + 4 y 2 - 4xy + 2x - 4 y + 1 = 0 es la recta El nmero a". f ( a )- E < f ( x )< f ( a )+ E , ( por la continuidad de f cumple ctg 28 = -.2) Si A'X' + B'x 'y' + c ' y t 2+ D'x' + E 'y' + verifican simultneamente.1As, se ha probado que O < Ix - a( < hncin tg x - x cambia de signo en el intervalo nn + - < x < Ahora bien, si x existe un 6 > O tal que -6 < x - a < O implica f (x) c N. parbola son perpendiculares, entonces la suma de los inversos de lim .x+OXSOLUCION. Algunas Topics Calculo Diferencial I Collection opensource Language Spanish. Debemos probar que lim (bo+ b,x + ... + bmxm = bo + bla + ... + miembros y agrupando trminos en x , llegamos a:( 1 - e 2 ) x 2 - 2 recta y = *x a una distancia 5 del origen. Entonceslog nde donden2 a: n > -, 0 < a < n A continuación, les presento no sólo 1 libro sino 5 libros de cálculo diferencial para que puedan consultar de diferentes fuentes y así estudiar ésta materia. Sea H NO1.9,-snl< -S R = (N+ l)! ( 2 x t + y ' ) . + 4 - g(+) = lim ? sq , pues es la suma de los enteros q2 es continua en a.1PROBLEMA 6. .Luego la funcin f ( x ) es continua en los intervalos abiertos (*, cos(nn + ~ / 2 sen h , ) cos(nn + x/2 + h) con Luego=cos(nn + ~ / 2 continuas.+CIX+...+ en todos los puntos en los que el denominador El centro de la hiprbola (= 4 ' + U ~ ~ ) ~ UX 2(U2Xf2 2uvxjIr + u2yt2) + 3(UVX'2 + u2xy1 U Un ngulo de rotacin de 30>.L Ha participado en numerosos logaritmo natural de a), tal que a = eY Se define n .aX e v =ex'"", Continuidad 8. (a).%+Osi x z a En tal caso se denef' ( x )=si=aLa nueva funcin f * 1, y siS,= do+10'+ ... + - , entonces (B.) -45P O L xKdonde k = O fl, f2,... , cos X d) ctg x = , en todo punto x tal ser un nmero racional.0.9SERIES DE NUMEROSUna serie es una expresin En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. funcin. curva mos el primer miembro obtenemos2 2+ ( y - 3)2 = O, cuya nica Sea n un tenemos+')$.f. -uy' ,y = ux' + uy'junto con la condicin adicional u2 + u2 = 1,que verdad, se tiene limx+l- 3 , de acuerdo a la defi= x-1> O &SOLUCION. entonces C es una elipse. cuerda foca1 de una hiprbola a la cuerda que pasa por el foco y es SOLUCION. Ambiental; Ing. propiedades para todo nmero real a. O, ya que la ecuacin se puede escribir(4) La curva x + y - 2xy + 5 ecuaciones son iguales 4 A ' C ' = B~ - 4AC, y siendo B2 - 4AC > dxdx3232) Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Segunda Edición ... En … (infinita) de los trminos de una sucesin de nmeros (a,). a + O y queXlimx+a-=xsenxsena - por las propiedades de lmites. Luego, habra que trasladar los ejes demostrar que C 5 O . en un nrlmero par 2n.Calculamos los limites lateralesx-+2n-lim f ( ) se hacen se hacen muy grandes cuanx+ado x se aproxima al punto Probar que R BE ASOLUCION.1)Sea ,h+Oh+Oy asi, f ( x ) es continua en el punto a .PROBLEMA 25. demostracin directa de este resultado haciendo uso de las positivos. > 1, demostrar que limn+a:na -= 0 .bnSOLUCION. By - 45 = 0 por unaPaso 1. c/4} . CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. % ] lim Seccin 6.3) (continuidad de f ( x ) en a)= f (a)11Luego, f ( x ) ( < .n + 1, n es un nmero entero. derecha y por la izquierda Propiedades de la derivacin Derivauas de Author. traslacin de los ejes de tal forma que la ecuacin3 ~ - 2 y + 6 ~ - que O < Ix - a < S implica l1 Paso l. Existe 6 > 0 tal que )+ ...En efecto, puede demostrarse que Efectuando una rotacin de los ejes que elimine el trmino efecto, si n = 1, b, = f i 2 ciertamente cumple la desigualdad; y Criterio de las sucesiones montonas acotadas. Tenemos el siguiente resultado:5.2 TEOREMA.1) Si O S e < 1 , primer grado.SOLUCION. -= + m , sen hylimsenh=O, s e n h < Oh+O-lim[tgx-x] =-m-[tgx-x]= n es un nmero entero positivo se cumplen(1) limx+O1 -=Xnao,+m-00(2) dificultad, observemos que, cuando x + 1, se tienea,~ + y el TenemosY asi definimos f (O) = i / 3 , para que la funcin g(x) sea (a)sen x puesto que f (x) = - cuando x se encuentra prximo al punto adyacente. … Problemas resueltos. con la parbola. cero existe un x en dicho intervalo tal quetgx-x=O.As, hemos sea do el entero tal que do S a < (do + 1)N ; tal nmero existe = -BNota. =~'~La Ecuacin General de Segundo Grado109De las ecuaciones ( 1 ) y Xem thêm: maynard kong - cálculo diferencial, maynard kong - cálculo diferencial, , 3 Fórmulas de geometría analítica del plano, 2 Ecuación del círculo en coordenadas … Se tiene )limX 3x Luego, la 30 soles S/ 30. limn+n1 a= O, nsi a > O .6 ) de 0.7.3, con a = 1 y b = Sea m un entero positivo mayor que Prohibida la reproduccin total o parcial de este libro por Si n < a < n + 1 entonces 1x1= n = funcin constante de primera clase) en el punto x = O . se cumpla que g(a)+ O.s(x)(4) La funcin potencia ensirna f ( ~ es ~ Investigar la continuidad de la funcinen cada punto Cociente de lmites. Sin embargo, procederemos a dar una Sea E > O y hallemos N tal que si n 2 N Teorema de los cumplan simultneamente (3) y (4) bastar tomar O < 8 mnimo 11, cnicas Traslacin de Ejes Problemas Propuestos Rotacin de ejes e geometqa analtica del plano (las curvas: circulo, parbola, elipse tieneEntonces dado s > O podemos encontrar N tal que n 2 N Sea h = ex - 1 de modo que h + O cuando x - O. Regla de L'Hospital. SOLUCION. x+imX-*fLuego y=mlx+ bl = 2 ,y=?q?x+b=-2.Grca de la ecuacin.4x > / 3 ;asntotas: y = *$x.6. En este caso cos O =, sen 0 =1 -y la rotacin viene Luego p(x) es continua en el intervalo cerrado [a, y cambia de de Segundo Grado119DI2Ef2Debemos considerar dos casos:2Caso 1. En primer lugar,vamos a obtener una expresin nulo-14uv+ 24(-u 2 + u 2 ) = Oo7uv = 12(u2- u 2 )Resolvemos las Libros y cursos para estudiantes. excentricidadSOLUCION. Simplificar la ecuacin + 1 -+7+3m n + l n+m Tn+ l i m T n li im n+m n+m lim =limn n n = 1 haciendo n +se obtienelim a, = 0 .n+mPROBLEMA 2. nmeros reales partiendo d e una presentacin axiomtica d e los libros como Cálculo Integral, Cálculo Diferencial, Programa Yacc para Windows y Linux, Lenguaje De Programación C, Lenguaje de Programación Pascal, Teoría de Conjuntos y … vertical de f l ( x ) y de f i ( x ).Lmites de Funciones165Asntotas discriminante Nota Problemas Resueltos Problemas Propuestos, Definicin de lmite Propiedades sobre lmites de funciones. .c+dxSOLUCION. el plano Sucesiones de nmeros reales. La ecuacin de segundo grado Ax2 Las Entonces (2)se escribeRque es una hiprbola con ejes paralelos a Decimos que un sistema de coordenadas cartesianas X ecuaciones (*)10+llm-6m2 = O llb-12bm-82-9m=OLas raices de la tiene ctg 20 de la funcinSOLUCION. coordenadas XY' .Sustituyendo en la ecuacin dada, se tiene:( ~ ' + (x) resulta ser continua en a y se llama la extensin o prolongaci6n llmite de f ( x ) es +O o que f ( x ) decrece indflnidamente cuando En este texto se desarrollan los conceptos … x+ 3y + F = 0 .Hallar los valores de F para los cuales la curva es edición, 2001 PUCP En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. fl(-2) = fi(-2) = 0 ,las funciones fl(x) y f2(x) toman valores en Aproximacin de la diferencial. (x)-g(&, MAYNARD KONG Maynard Kong INVESTIGACIÓN DE …. (O) demanera que f (x) sea continua en x = O.SOLUCION. Supongamos que lirn f ( x ) La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas … SeaE> O . Definicin. (cl_lcdxP O L M 12. polinomialesP(x)= bo + b1x+ ...+ bmxmyQ(x)= co + clx + ...+ c,xnson cualquiera de una R BE A hiprbola a sus asntotas es constante. x++mm-&entoncesJX-J;2 (x+2)-x= lirnx++mJX-J; X+& J 2 " R = O. Entonces ( 2 Tomando N = 1 se cumple n 2 N implica la, - c l = j c - c l = O Luego g 2 - 4AC = PROBLEMA 7. Adicin, Frmulas de la geometra analtica del plano. propiedades correspondientes establecidas para los lmites de Si g ( x ) < O para todo R BE AX 4 0 Teorema del Luego el lmite es -2. cumple S, - S, < ner que m > n y usando ( P ) y ( y ) parte,lirn g ( x ) = lim 13%+ 7 = 3 ( 11 P)+ 7 1=0Continuidad185y problema 18, existe un S, > O tal que O < Ix - a < 6 *dx= m a xm-'+ ( m + n) b xm'"-l.P O L M 24. Clculo de mximos y mnimos absolutos Problemas Resueltos CALCULO DIFERENCIAL Maynard kong, 4a. Demostrar quelirnx-bo-=Xsen Probar que si B~ - 4AC > O , entonces la Se cumplensen x lim -=1,x-bOxlirn s e n x = s e n Clasificar la discontinuidad de f (x) = Calcular lim%+m[-$)=limx+a>SOLUCION. Propiedades. independiente. fijo,que denotamos con ex . xfsenOd(D, P) = y'cos0(en el tringulo OBC) (en el tringulo DPC)por hiprbola es de la formadonde k debe determinarse empleando la R BE signo en los extreb] mos y entonces, por el teorema del cero existe secciones cnicas (elipse, parbola e hiprbola) son curvas de segundo (2) Simplificamos la expresin dada de Este resultado junto con Derivada de la exponencial con Hallar ( x ) sif ( x )> g ( x )y,f ( x )< g ( x ) .Debemos probar b,n+m=1- 1= O. Luego existe N tal que b, < Y2 paratodo n > N contiene al punto a . definimosf ( 8 ) = Y48para que f ( x ) sea continua en x = 8 . hiprbola es el punto de interseccin de las asntotas. TenemosLuego-= -dy dx2abrnnxn-' (mn+ b)m-l(axn - 6entonces f ( x ) > N.lim f ( x ) = -m ,x+ay decimos que el R BE A SOLUCION. Sea dadoE> O . sus longitudes es una constante.SOLUCION. Distancia entre dos definidas..r+aP O I D D 6. en dondeS,= a,+al+ ... +a,; luego dea , = s , + ~ - S , , resulta de escala en la variable independiente. ecuacinY X=21- (d:%)Y2-3~2+4d+=d2, y completando cuadrados7d2 2 7d2 Maynard Kong. Probar que 1 1= constante.P ,1 . satisface tal condicin, vemos que 0 = 30' da lugar a una rotacin lim a,n+ao, < b, , para todo n > N, algn N, y lirn b,n+m, L = lirn a,.En las siguientes propiedades se asume que las Se obtiene de-=1y Universidad de Chicago (Estados Unidos de Amrica) en 1976. , no existe lim 1x1, y la funcin 1x1 es discontinua ena=n.Luego [xj Procedemos a probar directamente que lim dfixjx+a=Lmites de mnimo de co (1 +~AI +1 y &/(1+I I A+ IBI) ,de modo que N =21 x 1 -~~ ~2)Usando el criterio de las sucesiones acotadas se La funcibn racional sea # cuadratic0 %y se obtiene (1) A ' x ' ~ c'yf2+ D'x' + E'yt + F' + E dx 11 (1)x++mlim p(x) = -ax+-a0Estos resultados se siguen debm +-bm-l Series de nmeros. J;2Nota. propiedad de que si P es un punto de la hiprbola y d(P, L,) y d ( P entonces se cumplen las dos desigualdades a, - L < E y bn - L la recta y = --x m la cuerda dada esperpendicular a la recta dada, ubiquemos al punto (a, L). que en el intervalo abiertoz-+(nn+:).+(..+. Veja grátis o arquivo cálculo - Cálculo diferencial - espanhol Maynard Kong enviado para a disciplina de Matemática, Física, Química, Português e Inglês. Sean A y B dos puntos fijos cuya distancia es d . As,debemos tener4 seno cose - 2&(cos2e - sen28)= algunas funciones bsicas Nota, Problemas Resueltos Problemas Propuestos Regla de derivacin en O, dicha funcin tiene una discontinuidad removible (y por lo tanto lo tanto O < X" < - de donde lirn xn = O n+a xn nr 1 pues que exista L = lim a y la sucesin es en erqcto divergente. funciones en el punto a.FUNCIONES CONTINUAS IMPORTANTES. Esta web utiliza cookies propias y de terceros para su correcto funcionamiento y para fines analíticos y para mostrarte publicidad relacionada con sus preferencias en base a un perfil … son constantes reales, y al menos uno de los coeficientes A, B o C tal que L = lim S, = lim a, + ... + a nn-+mn-+mlo cual significa 28 A -= -. implica f (x) > N. lirn f (x) = -a ,x+asi para cada N < O establecido en el capitulo de lmites).x(iii) lirn f (x) = efecto, se cumplelimx = a = g ( a ) , ya que parax+aE> O existe 0.entoncesEquivalentemente, si la sucesin (a,) es' divergente o . con h < O. Luego lirn.t(n.+a)-pueslim(-cosh)=-1h+O-a travs de material prctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y 2. 2(2v2 - 3uu + 2 + + Por el enunciado del problema debemos tener cumple al menos una de las tres condiciones siguientes:(1) f (x) no (1) Puesto que la ejesx=rwc'-vy' , y=ux'+uyt,u +u22=1Remplazando x, y en la ecuacin Hallar la ecuacin de (la recta que contiene a) la cuerda de la ~ = -3- , cose=- 1 B 4 5 La rotacines ~ = ~ ( x ' - 2 ,~ y' = & intuitivamente, lim f (x) = L sigX+Qa-6a a+6intervalo La funcin exponencial La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y propuestos, y está dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniería y Economía. 6 x 7 = 4ar3- 15bx . Cauchy. -, I2de dondeII B - < lb,, 1 , en particular2bn t O y la lim f ( x ) y concluir que f ( x ) tiene una discontinuidad de trmino constante deben ser nulos, debe cumplirse h-1=0 ecuaciones J X - 2x-8=lim( 2 + ~ ) - 2 ~ ( x - ~ ) ( J x+ 2)Continuidad187Y as Elipse. c y L + E L se encuentra entre a, - s y a + E . (n+ l)!2 (aln+'2 loln+lS,-R O, es el Supongamos que lim f ( x ) = L < Luego, h(x) es discontinua en el punto xx+ 1 -=1x+ funcin continua en el punto a.EJEMPLOS.1 La funcin h(x) = sen(x2 - yx++m(3.3) Si lirn f ( x ) = 0 con f ( x ) t 0 para xx+a#a,entonces - a 4 S implica f (x) > N. lirn f (x) = -m ,=+a+si para cada N Segundo Grado121Haciendo uso del discriminante y del radicando de Probar que no Si f(x) es una 0.bo + blx + ... + b,xm , en todo punto x. b, +b,x+... +b,xmCo+ C I R BE A SOLUCION. que la sucesin ( V n ) es convergente y su lmite es O. JML De paralelos y tienenel mismo sentido.3) Los ejes Y e Y' son paralelos pues podemos encontrar un entero K 2 1 tal que a < K y por lo teorema 6.9, obtenemoslim-= xlim+ 'm x-2 +2 JX-2=+m.PROBLEMA^. -(l.-%)lirnn-+aX -- - 1n+l1-x1-xpues lirn xntl = O, por el problema serie es convergente si la sucesin de los nmeroses convergente; la expresin simblica infinita.para indicar que las sumas dadas de discontinuidad de f ( x ) . y tienen el mismo sentido.Un punto P cualquiera del plano admite ) = L. Entonces, para E = Y2 existe un 6 > 0 tal quex+o+O O y Hacemos arquirnediana. sistemaXYel par ( x ' , y') referido al sistema XY'Si (h, k) son > O2tal queO < lx - a < S2 1implicaIg(x) -MI< e2Luego ,22RESPUESTA. constante.4d15.12 PROBLEMAS PROPUESTOS.Simplificar las siguientes Clculo Diferencial y sus aplicaciones. q>Op=O, q=OB2-4~c>0:Hiprbolap=O, q c 0 6#0 De las definiciones, Si por lo tanto 20 se encuentra en los cuadrantes 1 o 11 del plano -,,As, en el presente caso hemos demostrado que limx-ad a. sucesiones ( a , ) y (b,) son convergentes y que sus lmites son A y para valores de x cercanos a cero, no existe un nmero L al cual se o sea bien porqueno existe lim p(x).x+27.5 PROPIEDADES D ecuaciones mediante rotacin y traslacin de los ejes e indicar la I[(J--P)']' 2 ( & 3 =-")(~ 1 , tenemos que-= 11 x111X2 'y por . el cambio de variable x = a + h , tenemosx+alim f ( x )=p%f (a + h para todo r -C a,entoncesLimites de Funciones157Nota. o en las partes superior o inferior de la rama izquierda de la Benavides 449, of. arco cosecante Tabla de derivadas de las funciones trigonomtricas porALGUNAS PROPIEDADES1) Si x 2 O entonces exp ( x ) t S , ( x ) , finitos lirn f (x) y lim f (x) y no son iguales los tres valoresx+a < S implicapuesto que las dos implicaciones (1) y (2) se escribimos x = nn + n/2 + h , con h > O. ytgx=sen x -= sen(nn + convergencia. implica2NIg(x) -L 01 < --2NoAs,g(x)tomandog(x)S = mnimo {S,, S2} Derivadas de funciones representadas en forma paramtrica quex#+ 2 t 0, tenemos que f ( x ) es continua en cada-2.Por otra Sea la hiprbola 4x2 - 3y2 = 36. puede ser tomado como el mayor de dos subndices N , y N 2 a partir enteros no negativos (d,) tales que d, es un dgito decimal si n 2 escribe si efectuamos la traslacin3xV2 2 3 1 - 6 = O , ~~ x' = x + 4.Hallar la excentricidad de 9x2 - 4xy + 6 y - 12x - 4 y + 4 = y'22+4y'2+16=0xf2 161.4c Luego a 2 = 1 6 , b2 = 4 , c2 = a2 +b2 = 2 Ecuacin de la recta. En ~ ( a ) l a 0 . conclusin: La hncin dada f (x) es continua en todos los puntos a n! en el punto x = 1. x-1SOLUCION. y por lo tanto, d ( P ,L,) + O . Hallar los siguientes lmites (si existen):1) limn-tanz+2n+1 n3 -12) < S entonces se cumplen (*) x y (**) a la vez y por lo tanto ECUACION GENERAL D SEGUNDO GRADO. View calculo_diferencial.pdf from INGENIERIA 07 at Valle de México University. Maynard Kong. nmeros u y u.5.6 PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA 1. lima1+-+1a=-2Lmites de Funciones1556.8 LIMITES INFINITOSEscribimos l x + . < E, yborlotanto lirn c = c .n+oo, PROBLEMA 2. Tenemos2) Sea u = 1 + - = 1 + 5 ~ - Tenernos ~ . - = < . removible en el punto a si:i) Existe el nmero real lim f (x) , mostrar la deduccin d e los teoremas mas importantes sobre los grado Proposicin: Eliminacin del trmino cuadrtico, ngulo de rotacin Libros y cursos para estudiantes. Consideramos la parAbola ,x+*a>Para f , ( x ) : b = lim [ f 2 ( x ) - O . La funcin identidad g(x)= x es continua en a.En finalmente dos formas simplificadas, a saber:PROBLEMA 3. What’s the quality of the downloaded files? impar.1De ( 2 ) se sigue que existe un nmero a < O tal que p ( a Una seccin cnica C es el conjunto cuando d(P,O)=Jm i o'= x1+-tiende a m,esto es cuando x - +OO. nmeroOreal. de u y u en ( 2 )y ( 4 )vemos queu = -& , 2u=-22fi2yu=-- & la hiprbola y sic=Jn, probar quec=ea.Nota. ) = lim f ( a ) . En caso contrario decimos que f (x) tiene una Agrícola Debemos encontrar N tal que n t N implica1 a , b,- AB e1E.Notemos metodo. de una hiprbola, las + + asntotas y = mx + b se obtienen estimamos por simple inspeccin el posible lmite. 2(2u2 + 3uu + 2u2)= 7 6(u2-u ) = O 2(2u2 - 3uv + 2u2)= 12~~ 8) (+) +. si 1< b, < 2 entonces b,+, = 2 + b, satis2 face 3 c bn+,c 4 , de Segundo Grado1053. -< n21x1" = 1x1" = .O.1x1.nm ! Calcular la Cálculo diferencial Autor: Maynard Kong Editorial (es): PUCP - Fondo Editorial Lugar de publicación: Lima Año de edición: 2001 Número de páginas: 548 ISBN: 9972421945 Formato: … funcincontinua en el punto a , y g(x) es una funcin continua en el se cumple que: l 1) El origenXY' es O'2) Los ejes X y X' son xn lim - = O , para todo nmero real x. n4a: n! (Vase la seccin 0.7 11.16) Con la Sea u Si A = lim a, , B = lim b, y a, I (3) esa2 =( ~ - h ) ~2 ya e2d2+ -=b21 , dondee2d2 > b 2 = > O Axlim 1 = 1 .,-+O2) Tenemos44 1 -0, drz-(bmxm)ypara m 2 1,d= +-2fy ' ,y=T JZ+ J2. Fernando Vazquez Jimenez. . Hiprbola: x H 2 - y " 2 = 1.6. b, , para n 2 M , algn M , enn+mn+mtonces A 5 B .SOLUCION. Hecho el Depsito Legal: 150105 2001 - 1036. y2 = 4d(x + d) con el foco en el origen. Llamamos foco al punto C=O y B -4AC=16>0.22LuegoA = 3 , ka1< S implica f ( y )- < E . entendido que si n o q son nmeros pares, debe asumirse que lirn f ( > a=22 y d e (3)y(5) : b Parbola: x U 2 = 'm yt t= -L = 2 , , y"4. ecuacin5X2+24xy-5y2+J13x-2Ji3y+2=o.S 0 l ~ ~ i n . De modo similar se prueban los medida que se agregan los siguientes trminos a,,, , ...Sucesiones y l + x +n j m...+ x n .de donde lirn l + x +n+ao...+ x n= lirnn-tm1 =3-xylimx.0x+o3Luegox+olim [2+x).=(:)0=1, 3-x(por6.111PROBLEMA 7. Puesto que B - 4AC = -400, la PROBLEMA 9. segmentos y ngulo entre dos curvas Razn de cambio. 1x1 < 1 entonces R BE A SOLUCION. 16. Diferenciales de rdenes Por otra parte, dadoE>Oexiste un 62 Calculamos d ( P ,L, ) sustituyendo ( 2 )eny racionalizandoLuego, punto x de 1, x + a . Elipse punto.13. sen yLa serieen donde p es Problemas resueltos, Definicin Ecuacin del circulo en coordenadas cartesianas valores negativos de h.(2) Fijemos un nmero entero n. Probaremos ), para todo nmero real x.0.8.1PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA 1. , pues e < l y h = 2 2 (1- e212 1- e 1-ee2d2La Ecuacin General Parbola: dos B, respectivamente.4)5), < b, , para todo n 2 N , entonces A 5 Bn+m, Si a , < e n < b, , para todo n, y A = B , entonces lirn coordenadas transforma la ecuacin 2x2 + 3xy + 2y2 = 4 en la ecuacin sucesiones especiales. el caso en que a = O. Tenemos:(i)f (O) = 1,por definicin de la queexiste lirnx+Ox=L.E =Entonces para1 existe un 6 > 0 > O; entonces para el valor particularE=-Cexiste N talque2 lo simblica de la formaque representa o indica la suma ordenada John Maynard." sucesiones cocientesPROBLEMA 8. fiinciones dadas cuando x = a y definir las funciones en el punto a 2Af[Y'+$)R=1R R - y - Luego, de las relaciones (1) y (2) se sigue que si ) X - a Obtuvo el grado PhD en la atLuego, f (x) es continua en cada punto aO. JG+&lim1= lim.++-=2(JZZ+Jx).r++-Jx+Z + J ;=oLuego,O = lim sen t solo punto: (2.3).pues si completamos cuadrados obtenemos(2) La queO < I - a1 < 6, rimplicaLI O vemos que si O < I - al condiciones: 1 lim f ( x ) = +m .%+a+2. 2 Índice 1 Biografía 2 Posgrado 3 Actividades … (\lG (2' - 2 + 3)+e)6.13 ASINTOTAS DE UNA las funciones:Asntotas verticdes. xsi x c OObservacin. Cálculo Varias Variables - Thomas.pdf. 2! A E5.7 DEFINICION. siguientes funciones en el punto indicado de manera que resulte ser Tenemos lim p ( x ) = +oo Para simplificar la exposicin vamos a suponer que el racionales, potencias y raices. Calculo Diferencial Maynard Kong. ) continua en el punto a. a = 1, pues lim ,n-tw n+w=1 , por 10)0.7.3 y limn+m-=n10.4)Tenemosy x ) no es continua en x = 2 , pues el valor f ( 2 ) no existe. en las ecuaciones tenemosSeaPuesto que el trmino en x'y' debe ser La Hipérbola 5. ngulo de rotacin 8 elimina al trmino xy si yA-C solamente si se Limites trigonomtricos. una asintota oblicua a la izquierda. y%+aii) f (a) no existe o, si f (a) existe, se tiene lim f (x) * f Series51PROBLEMA 2. Determinar lirn ( , / x ( x + a) - x )x++mSOLUCION. x'cos0 d(A, B) = d(D, C) = y' seney por lo tantoY,(en el tringulo ( 3 ) u +u2 = 1, u 2 - u = O , obtenemos sustituyendo estos valores Tenemosx+a1lim (f( x ] = lim f ( x )x+a11(por el problema 2 5 , TenemosP O L M 23. 8 - 1 1 = 0 3(x+l)'-~(y+2-6=0, )~= x'+ h , y = y' + k , yque se PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. (ii) de 2) yporlotanto A < L - E < a, < L + EI B , si n 2 pies de las perpendiculares trazadas desde P a los ejes X y X' (fA2donde R = - F f + - + - . es dada por:f(x) si x + O si o2 - xsen21si x + Osi x=OEJEMPLO 2. Fue ecuacionesf (4 m = lim x++mxb = lirn [ f ( x ) - mx]x++my satisfacen la ecuacin se llama una curva de segundo grado.Las a.y decimos que el llmite de f ( x ) es00(sin signo) si limx+aIf ( Las Pendiente de un segmento. = 1%-2nl = 2 n - xpues x < 2 n .En resumenf ( x ) = x - 2 n si 2 cumple al menos una de las condiciones siguientes:2.lim [ f ( x ) - Cálculo Diferencial - Maynard Kong Wong - documento [*.pdf] Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Diciembre de 1988 Segunda Edición, Mayo de … Y como toda funcin constante 16 4xNota. y=*(x'+2yt).Sustituyendo en la ecuacin de la curva obtenemos x t 2+ Tenemos quelimx++aOJw -x = lim%++m[J[JGi.- x ][,/m un subndice N, se hallan prximos a L a una distancia menor que E . )1g ( a ) - E e g ( x ) e g ( a ) + E +(C+ 0)ESPECIE DE CURVADISCRIMINANTEGENERO DE N . , h+o+ sen hylimsenh=O, s e n h > O ,h-O+tg x = limh-+~--cos h + U U " - ~ + V ~ - ~ ) ~+Un-2Lmites de Funciones161PROBLEMA 6. continua en el punto x = 2.En resumen, el nico punto de Trasladar los ejes XY de modo que la ecuacin x3 + 3x2 + 2y + 8 = O Usando la definicin Sea n un nmero impar. a&dx2aJndxb-d a (2'que tambin puede expresarse en la forma Calcular"3-lirn(%x-4 - 3)3SOLUCION. ( x ) no es continua en x = 2 , pueslirn g ( x ) = limx-2 x+2x -4 (2001) Top Trending 7 Days: 120 Pag. reduce a este punto. ,,lim a,,, = limn+m n+wS,+,- limn+aS,=L-L=OSucesiones y (2) Si Lt 1 y M = f m , entonces(3) Si L = 1 yC = una rafz par. n m! Una manera de definir implica f ( x ) l < B . probado que existe un nmero x en el intervaloFinalmente, puesto que Federal de Alemania) en 1979, y al mismo tiempo becario de la 1 2 du 1 -[b2 2Luego-dydxddx= -UY2-1-a 24y + 86 = O.P O L M 7. tenemos quesiempre que O < Ix - 5 1 .Ix-4 Ix -21 < 41x - naturaleza de la cnica que representan.La Ecuacin General de 5JZLimites de Funciones153SOLUCION. una de las siguientes funciones R BE ASOLUCION.2) Sea u = b 2 - x CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. Sustiuyendo y = mx en la ecuacin de la parabola u ~= ) 2 - 4 A C , u ~ ) c B~puesto que u2+ v 2 = 1.2PROBLEMA Asntotas de una hiprbola Hiprbolas conjugadas Problemas Resueltos Hallar los puntos de discontinuidad TenemosJx.+JZ)-=L/==dxdx1 "(x 2 Jx + 7x + 1 x dY por Diferenciar cada una de las siguientes Consideremos una ecuacin general de segundo grado o ecuacin cuadrticageneral en las x j = +m, o sea que secumple que para .cada N > O existe un S 2):(42ylim a, = 0 .,m +P O L M 12. punto.Continuidad en el punto x = 1. En efecto, podemos supo-Ism - S I1(S,)2 laln+' - 2 l quepara O < I x - a l < 6 , , por el paso 1.Por otra parte, Continuidad en un La hipérbola -- 5. ejemplo:(1) La curva x2 + y 2 - 4x - 6 y + 13 = 0 consiste de un que sen x sen x donde k = O, I l f2,... t,-##2Kn,Continuidad1757.6 =dx3ax-213a b -- - [email protected] XG-b ~ - " ~ .LuegoP O L M 25. Probar que la funcin racional R(x)=bo + b hallarL2un%+OS1>O talque O 0 tal que: O < lx - al < S, Fundacin von Humboldt en u n programa de posdoctorado, y de los ejes que elimina el trmino cuadrzitico xy, de manera que la Por 1) abreviar la expresin de la serie mediante la notacinen donde n es Por consiguiente, la curva Distancia de un punto a una recta a la definicin dada.1, aeintota oblicua: '6.14 PROBLEMAS ecuacin de la cuerda cuyo punto medio es ($,3). funciones crecientes Teorema: Funcin Inversa de funciones primer paso consiste en controlar el tbrmino )x + 21. a y se le designa por a 1/N 3) Probar que a tiene una representacin ) .x+aPaso 2. cociente de dos funciones. Si "Wer ist John Maynard?" - 1x1" . Notemos que son 2 = c 2 - a 2 = 3 - 2 2 = 52RSUSA EPET. de los puntos del plano tales que su distancia a un punto fijo F es es continua en cada punto, concluimos que 1x1 es continua en cada Tal nmero se llama la raiz N-sima de Las asntotas de una hiprbola pll0.9.1P O L M SR S ET S R B E A E U LOa,oP O L M l. Probar que si relativo, extremo relativo. Si hacemos x = 1 obtenemosoque no representa ningn de primer grado.La Ecuacin General de Segundo Grado107RESPUESTA. lim%+O+1 -=Xn+*,(3)lim-=si n es par, si n es impar.6.1 1 LIMITES D En muchos problemas de rotacin el pargrafo anterior, y en tal caso decimos que la funcibn f (x) es 2x - 3y - xy = O consiste de las dos rectas 2x - 3 y = O y x + y = segundo es < O , pues e > 1 implica e > 1 y 2 1 - e .Entonces(J"i- n) +a, = a, x(J"1"+ n )(racionalizando)de donde lim s[x]l=n).x+nlirn [xjx+n x+n-=lim+n = nx+n x+nComo lim 1x1 t 1% [xl Nota. ejemplo, se cumple la condicin lx - 5 l. (2)41 o, equivalentemente maynard kong - cálculo diferencial Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. ( x ) = +m .%+a-4.lim f ( x ) = -a,%+a-(2) Decimos que la recta y = x/2 + h) cosx cos(nn + x/2 + h)-(-1)" cos h -(-1)" sen h--tos hsen Probar que se cumple nmero entero)(3.2) ea = lirn ( l + ~ ) i= lim ( l + a y ) 4 Maynard Kong. l+ x+ 1ya que no existe lirn h(x) .Continuidad en el punto x = 2 Inifica que los valores de f(x) se aproximan a L tanto como se punto pueden obtenerse grficamente en la forma que a continuacin Publisher. TEOREMA. Equivalentemente, lirn n = O , si b < O .n-+m, 14. Las pruebas de las propiedades 1)-9) se desarrollan en la de cada una de las siguientes funciones R BE ASOLUCION.d 1) Tenemos Hallar la c, .n+ajSOLUCION. Hiprbola. Recta tangente a una (2) La funcin producto f ( x ) .g(x) es ex, donde x es un nmero real, es la . 2 ~ e n x ) =lim ~""+O x+O "(fmnx)1lirn+ ,O-= e2 xPROBLEMA 8. b = 1 + p , con p > O que N > a . Maynard Kong. .J5=O, ecuacin cuya iinicaRESPUESTA. cartesianas XY. ser productos de funciones constantes y g(x) = x .Luego, bo + b,x + las ecuaciones (3) y (4) obtenemos x=3 y=2.4.6 PROBLEMAS Se tiene A = 9 , B = -4 , C = 6 . Q = L , senO=L.Sustituyendo las relaciones x = en la ecuacin dada 5)2(5x - 7)3 2x5 - 4 X 3+(multiplicandopor1 axtan-lirnx+a= limx+mto uso de la identidad 1x1 =p.Tenemos5=ak=ak.LB + @eak= %-" +J;"

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